Квадраттық теңдеулерді шешу жолдары

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

 

М.Тынышбаев атындағы КазАТК Шымкент көлік колледжі

 

 

 

 

 

 

Ғылыми жоба жұмысы

 

 

Тақырыбы: Квадраттық теңдеулерді шешу жолдары

Бағыты: Жаратылыстану – математика

Секциясы: Математика

 

 

 

 

 

 

 

                                  Орындаған: Әбдішүкір Ердаулет Керімжанұлы

 

                                  Тобы: ТТ  13-18

 

                                  Жетекшісі:  Сейтбек Ескендір Қалдыбекұлы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шымкент 2019

                                                                 Өтініш
1 Баяндамашының тегі, аты-жөні Әбдішүкір Ердаулет Керімжанұлы, 1- курс ТТ 13-18 тобы
2 Ғылыми жетекшісінің аты-жөні, ғылыми дәрежесі, ғылыми атағы Сеитбек Ескендір Қалдыбекұлы

2 санатты оқытушы

3 Мекемесі, лауазымы Шымкент көлік колледжі
4 Мекен-жайы Шымкент қаласы, Аймауытов көшесі 1. 160000
5 Телефон 8-775-541-56-93
6 Баяндаманың тақырыбы Квадраттық теңдеулерді шешу жолдары
7 Секцияның атауы Жаратылыстану, физика-математикалық ғылымдар секциясы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадраттық теңдеулерді шешу жолдары

Орындаған: Әбдішүкір Ердаулет Керімжанұлы, 1- курс ТТ 13-18 тобы

Ғылыми жетекшісі: Сеитбек Ескендір Қалдыбекұлы

 

 

Мазмұны.

Жетекшінің пікірі:…………………………………………………….2

Аннотация ………………………………………………………. …..3-5

  1. Кіріспе ………………………………………………………..6
  2. Квадрат теңдеудің даму тарихы…….………….……….7
  3. Ертедегі Диофанттың есебі…………………….………7-8
  4. Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы………………8-9
  5. Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері   

1Тәсіл………………………………………………………………..……9

2Тәсіл ……………………..…………………………..10

III. Қорытынды…………………………………………..20

 Қолданылған әдебиеттер….………………………..21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УДК 51-7

 

Аннотация

Зерттеудің мақсаты:

  1. Квадрат теңдеулер арқылы көптеген табиғи үдерістер мен құбылыстар с.с мазмұнды есептерді шығаруда квадрат теңдеулерді шешуде қолдану.
  2. Квадрат теңдеулерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде қолданғанын анық көрсетеді.
  3. Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру.

Зерттеудің жаңалығы :

  1. Квадрат теңдеулерді шешуде өзіндік тәсілдері мен оқушылар тілінде қолданылу ерекшеліктерін ашып ,айқындау.
  2. Қазақ тілінде квадраттық теңдеулердің әртүрлі тәсілдерін жинақтау, кітаптар шығару.

Зерттеудің әдістері:

Кітапханаларда арнайы зерттеу жұмыстар жүргізу, ғаламтордан тарихи зерттеп ой-пікірлерді, түрлі басылымдарды, оқулықтардан квадрат теңдеулерге қатысты мәліметтерді бір жерге жинақтап, топтастыру, оқушылармен сауалнама жүргізу, нәтижесін табу.

Зерттеудің нәтижесі:

Ерте замандағы ғалымдардың есебін, дамуын зерттеп, өз бойындағы ерекше қасиеттерін, таланты мен дарындылығын , табиғи қабілеті арқылы өз зерттеуінде пайдаланып қана емес өмірлік тәжірибеде қолданатынын дәлелдеу.

 

 

Аннотация

Цель исследования:

  1. Квадратные уравнения помогают решать проблемы во многих природных процессов и явлений, а так же содержание сложных матемтических задач.
  2. Квадратные уравнения используются в практике великих ученых с древнейших времен .
  3. Раскрыть различные методы и приемы решения квадратных уравнений и привести их в единую систему.

Новизна исследования:

  1. Раскрыть особености методы и приемов доступных для учеников в решений квадратных уравнений
  2. Создать сборник методов и приемов решение квадратных уравнений , выпуск книг на казахском языке.

Методы исследования :

Для проведения исследования в Интернете в библиотеках и исторического исследования идей, публикаций , книг , чтобы собрать информацию о квадратичных уравнений в одном месте , к консолидации результатов опроса учащихся .

Результат исследования:

Доказать необходимость использования методов развития приемов решения задач древними учеными, использования их на практике, развивая свой талант и природные способности.

 

 

Annotation

Research aim:

  1. The affected quadratic help to work out problems in many natural processes and phenomena, and similarly maintenance of intricate матемтических problems.
  2. The affected quadratic is used in practice of great scientists from the most ancient times .
  3. To expose different methods and making decision of affected quadratic and drive them to the single system

Research novelty:

  1. To expose special methods and receptions accessible for students in decisions of affected quadratic
  2. To create collection of methods and receptions decision of affected, quadratic producing of books in Kazakh language.

Research methods :

For realization of research in the Internet in libraries and historical research of ideas, publications, of books, to collect information about quadratic equalizations in one place, to consolidation of results of questioning of students .

Research result:

To prove the necessity of the use of methods of development of making decision, use of them by the ancient scientists of tasks in practice, developing the talent and natural capabilities.

 

Кіріспе

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор. Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.
«Квадрат теңдеулер» мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.
Зерттеу барысында мектеп оқушыларына «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады: Зерттеу барысында «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының 10 түрлі әдісімен таныстым. Ол тәсілдерге алда жеке – жеке тоқталамын.

     Квадрат теңдеудің даму тарихы.

2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д   II мыңжылдықта Ежелгі Вавилонда шығара білген.Ежелгі  Греция математиктері  квадрат теңдеулерді   геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі қатынастарға бөлу арқылы шешкен.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бірнеше рет  «қайтадан ашылған» . Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте  ашқан(жуықтап 598 ж.).

Ортаазия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің  «Китаб  аль-джебр валь -мукабала» трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын  геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен.

Ертедегі   Диофанттың есебі.

Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.

Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.

Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен   түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.

Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:

5х² -8х+13=13

5х² -8х=0

х(5х-8)=0

5x-8=0

5x=8

x=

Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+ 2=, екіншісінікі

2х-3=2*-3=-3=.

Квадраттың аудандары: ()² =

()² =

Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті қанағаттандырады.

Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы.

Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен, әл-Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.

Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне келтіріп, сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық тәсілдері келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты белгілер кітапта атымен жоқ болғандықтан, «әл-Хорезмидің алгебрасы толығымен сөзбен сипаттау арқылы баяндалған. Гректің «Арифметикасында» немесе Браһмагуптаның еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем қолданылмаған. Тіпті сандар арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен сөздер ретінде жазылған!»Сондықтан теңдеулер сөзбен «шаршы» деп (яғни бүгіндері “x2” деп), «түбір» деп (бүгін оны “x” деп) және «сандар» деп (мысалы, «қырық екі», «жеті» деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп отырды. Бүгінгі күннің шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты түрі мыналар:

1) квадраттар тең түбірге тең  (ax2 = bx) 

2) квадраттар санға тең (ax2 = c) 

3) түбірлер санға тең (bx = c)

 4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c) 

5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)

6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2


Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) («толықтыру») амалы: теріс шаманы теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4x2” теңдеуі «әл-жәбр» амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x2 = 40x” Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс сандардан құтылуға болады.

Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) («теңдестіру») дегеніміз – теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу: “x2 + 5 = 40x + 4x2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x2“. Осы ережені қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты) теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған.

Қорытынды

Квадрат теңдеулерді теңсіздіктерді шешкенде,  тригонометрия және иррационал теңдеулерде кең көлемде қолданылады.

Квадрат теңдеуді шешудің 10 түрлі әдісі оқушылардың «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады. Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық он тәсілі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады. Квадрат теңдеулер физика және геометрия пәндеріндегі кейбір есептерді шешуде бірден бір қолайлы тәсіл болып табылады. Сол сияқты алгебра пәнінде де кейбір тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешуде де оқушы үшін ыңғайлы тәсілдің бірі болып саналады. Сондықтан да әрбір оқушы үшін квадрат теңдеуді басқа пәндердегі есептерді шешуде қолдана білуі, математиканың ғылымдар патшасы ретінде білгеніміз. Ақыл-ойды дамытатын математика. Сондықтан да кез-келген есептердің шешу тәсілдерін біліп қана қоймай,олады терең меңгеріп, біздің ой-санамыздың дамуына үлкен мүмкіндік береді.

 

Қолданылған әдебиеттер:

  1. Математика, информатика, физика журналы №5, 6, 2003ж.
  2. Брадис В.М. төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.:Просвещение, 1990
  3. Ә.Н.Шыныбеков, Алгебра 8-сынып, Алматы «Атамұра» 2004
  4. Ш. Бекбаулиева, Қ.И. Қаңлыбаев, Н.Н. Забежанская, М.Б. Меңдіғалиева, Алматы «Ана тілі» 1991
  5. Математика журналы №4, 2007 ж.
  6. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.