Оқушыларды тестке дайындаудың кейбір мәселелері.

Оқушыларды тестке дайындаудың кейбір мәселелері.

 

Қысқаша көбейту формулаларының кейбіріне тоқталайық.

Алдымен 5 пен аяқталатын екі таңбалы сандардың  квадратын баған түрінде қалай орындалатынын көрсетейік.

Орындалу реті:

  • Оң жақтағы 5 пен 5-ті көбейтіп көбейтіндінің оң жағына 25-ті толық жазамыз.
  • 1-ді 1-ге қосып, оны 1-ге көбейтеміз де 2-ні 25 санының алдына жазамыз. Онда көбейтінді 225 санына тең болады.

1-тәсіл:

І. Енді кез келген санның квадратын табуға арналған формуланы қорытып шығарайық.

a2=a2-b2+b2=(a-b)(a+b)+b2

яғни  a2=(a-b)(a+b)+b2      (1)

  • формуланы екі таңбалы 5-пен аяқталатын сандарға қолданып көрейік.

152=(15-5)(15+5)+52=1020+25=225

252=(25-5)(25+5)+52=2030+25=625

352=3040+25=1225

452=4050+25=2025    т.т.

 

352=304025=1225  мысалының геометриялық мағынасын түсіндірейік.

 

 

1-суретте көрсетілгендей қабырғалары 30 және 40 бірлікке тең болатын тіктөртбұрыштың ауданына қабырғасы 5 бірлікке тең шаршының ауданын қосқанда шығатын қабырғасы 35 бірлік болатын ізделінді шаршының (квадраттың) ауданы табылатындығын көруге болады.

               1— сурет

Енді (1) формуланы кез келген санның квадратын табуға қолданып көрейік.

 

  • (10,3)2=(10,3-0,3)(10,3+0,3)+0,32=1010,6+0,09=106,09
  • (99,8)2=(99,8+0,2)(99,8-0,2)+0,22=10099,6+0,04=9960,04
  • 282=(28+2)(28-2)+22=3026+4=784 немесе   282=(28-8)(28+8)+82=2036+64=784
  • (19,7)2=(19,7+0,3)(19,7-0,3)+0,32=2019,4+0,09=388,09

 

ІІ. 2-тәсіл

 

(а+1)22+2а+1а2=(а+1)2-2а-1а2=(а+1)2-а-а-1  а2=(а+1)2-(а+1)-а.

Сонымен, а2=(а+1)2-(а+1)-а         (2)

(2) формуланы 5-пен аяқталатын екі таңбалы сандарға қолданып көрейік.

 

152=162-16-15=256-31=225

252=262-26-25=676-51=625   т.т.

 

Енді (2) формуланы кез келген санның квадратын табуға қолданайық.

  • 192=202-20-19=400-39=361
  • 212=222-22-21=484-43=441 т.т.

 

ІІІ. (а-в)(а+в) =а22  (3) формуласын қарастырайық. Оның геометриялық мағынасы: Егер кез келген шаршының бір қабырғасын в бірлікке азайтсақ және екінші қабырғасын в бірлікке арттырсақ, онда алынған тіктөртбұрыштың ауданы алғашқы квадратын (шаршының)  ауданынан в2 бірлікке кіші болады.

Мысалы:  4337=(40+3)(40-3) =402-32

Бұл мысалдан

(а-в)(а+в) =а22  формуласы  а2 = (а-в)(а+в) +в2  формуласымен пара-пар болатындығын байқаймыз.

  • формуланы кері жазайық

а22 =  (а-в)(а+в)

осыған мысалдар қарастырайық:

  • 15,32-5,32=(15,3-5,3)(15,3+5,3) =1020,6=206
  • 862-142=(86-14)(86+14) =72100=7200
  • а2-9=(а-3)(а+3), мұнда а›3 болғанда ғана орындалатынын ескерейік.

Жоғарыдағы көрсетілген әдістердің қайсысын тиімді әдіс деп (есептеуді) таңдауды оқушылардың (студенттердің) өздеріне қалдыруды жөн көрдім.

 

№1 өздік жұмыс

 

І нұсқа ІІ нұсқа
 

Төмендегі сандардың квадраттарын табыңыздар:

 

1)      652=

2)      752=

3)      852=

4)      (12,3)2=

5)      (7,8)2=

6)      (17,9)2=

7)      712=

8)      782=

1)      952=

2)      552=

3)      652=

4)      (11,6)2=

5)      (9,7)2=

6)      (19,7)2=

7)      812=

8)      872=

 

Енді квадрат теңдеу түбірлерінің қасиеттерін квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тақырыбына қолданып көрейік.

Квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар немесе жоқ екенін студенттер (оқушылар) оның дискриминантының таңбасына қарап анықтай алады. Ендігі мақсат – теңдеуді шешпей-ақ оның коэффициенттері бойынша түбірлерінің таңбаларын анықтай білу бейімділігін қалыптастыру. Бұл деректі негіздеу Виет теоремасы арқылы жүзеге асырады.

Сонымен бірге мұнда Виет теоремасы көмегімен квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілі қарастырылады. Өйткені студенттердің (оқушылардың) бұл тақырыптан алған біліктіліктері рационал өрнектерді түрлендіруде және өзге (интервалдар әдісін теңдеулер мен теңсіздіктерге қолданатын т.б.) есептерді шешу барысында кеңінен қолданылады.

Жалпы толық квадрат үшмүшені жіктеу ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), (мұндағы х1 мен х2 – берілген квадрат үшмүшенің түбірлері) формуласы арқылы орындалады.

Жалпы квадрат теңдеуді қарастырайық:

ах2+вх+с=0, (а>0). Бұл теңдеуді а-ға бөлу арқылы     теңдеуін аламыз. Мұнда     деп белгілесек, төмендегідей келтірілген квадрат теңдеу шығады.

х2+рх+q=0 (р≠0, q≠0).

 

  • Айталық, q<0 және Д=р2— 4 q>0  болса, теңдеудің нақты екі түбірі болады, оның бір түбірі теріс, екінші түбірі оң болады.
  • Егер q >0, Д >0  болғанда ғана нақты екі түбірлері бар. Мұнда х1 * х2= q >0  теңсіздігінен бұл түбірлердің таңбалары бірдей болатындығын аламыз.

а) Айталық, р>0 болсын. Онда х1 2= -р<0  теңсіздігінен теңдеудің екі түбірі де теріс болатындығы шығады.

ә) Егер р<0  болса, онда х12 = -р<0  теңсіздігінен теңдеудің екі түбірі де оң болатындығы шығады.

Жалпы квадрат теңдеуді ах2+вх+с=0, (а>0) қарастырғанда жоғарыдағы айтылғандардан мынадай ережелер шығады.

  • Егер с< 0 болса, онда берілген теңдеудің таңбалары қарама-қарсы екі түбірі болады.
  • Егер с>0, Д=в2-4ас>0  және в>0  болса, онда теңдеудің екі теріс түбірі бар.
  • Егер с>0, Д=в2-4ас>0  және в<0  болса, онда теңдеудің екі оң түбірі бар.

 

Мысалдар қарастырайық:

  • 2-5х+3 квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіздер:

Шешуі: с=3>0,   Д=в2-4ас=(-5)2-423=25-24=1>0,    в= -5<0.  Онда үшінші ереже бойынша берілген теңдеудің екі оң түбірі бар.

 

Онда, 2х2-5х+3=2() (х-1)=(2х-3)(х-1)

 

2) х2+9х-22  квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіздер:

Шешуі: с= -22<0  (Д=в2-4ас=81+88= 169>0)  бірінші ереже бойынша берілген теңдеудің таңбалары қарама-қарсы екі түбірі бар.

Онда

Яғни   х2+9х-22=(х-2)(х+11)

 

3) 5х2+9х+4  квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіздер:

Шешуі: с=4>0,   в=9>0,   Д=81-80=1>0  екінші ерекше бойынша

 

Онда  5х2+9х+4=5 (х+) (х+1)=(5х+4)(х+1)

Енді ах2+вх+с=0  квадрат теңдеудің түбірлерін ауызша оңай анықтауға болады. Атап айтсақ, мынадай теорема орындалады.

 

Теорема 3.

  • Егер ах2+вх+с=0 квадрат теңдеу үшін а+в+с=0 теңдігі орындалса, онда х1=1  және х2=  сандары осы теңдеудің түбірлері болады.
  • Егер ах2+вх+с=0 квадрат теңдеу үшін а-в+с=0 теңдігі орындалса, онда х1= -1  және х2= —  сандары осы теңдеудің түбірлері болады.

 

 

Мысал: Теңдеудің түбірлерін 3-теореманы қолданып анықтаңыздар:

 

1) 3х2-13х+10=0                                     2) 5х2+12х+7=0

3)                 4)

 

 

Шешуі:

1) 3х2-13х+10=0,       3-13+10=0   х1=1;   х2=

 

2) 5х2+12х+7=0,        5-12+17=0   х1=-1;   х2=

3)

4)

 

 

№2. Өзіндік жұмыс

 

І нұсқа ІІ нұсқа

 

1. Квадрат теңдеулерді тиімді тәсілмен шешіңіздер:

 

1)      х2+3х+2=0

2)      3х2+5х-2=0

3)      3х2-10х+7=0

4)      5х2+4х-1=0

5)      -7х2-4х+11=0

6)      Х2+2х-3=0

1)      –х2-5х+6=0

2)      2х2-х-3=0

3)      6х2+5х-11=0

4)      3х2+10х+7=0

5)      -23х2-22х+1=0

6)      3х2+4х-7=0

2. Бөлшекті қысқартыңыздар:

 

1)

2)

 

1)

2)

 

Студенттер (оқушылар) тестке дайындалу кезінде уақытты үнемдеу мақсатында есептерді ауызша шығара алу дағдыларын қалыптастыру керек екені  жылда өтетін мемлекеттік ҰБТ қорытындыларынан байқауға болады.

Тестке дайындалу кезінде аз да болса, көмегі тиеді деген мақсатпен өздеріңізге ұсынып отырмын.

 

Алматы облысы

Іле ауданы

Өтеген батыр кенті

«Прогресс» политехникалық колледжінің

математика пән оқытушысы,

директордың тәрбие ісі жөніндегі орынбасары

Маралбекова Шырайлы Арынқызы